Oscar Pacheco Ríos
Resumen
DEL QUIPU INCAICO A LA YUPANA EL COMPUTADOR INCAICO
Palabras clave de la temática: Teoría Etnomatemática
INTRODUCCIÓN
Cuando nos propusimos realizar el ensayo “Un intento de Filoso-fía
de la Matemática” Nos hicimos una serie de preguntas entre las cuales
teníamos la siguiente: ¿Cuál es la naturaleza del
proceso de aprendizaje?
Hoy esta cuestión nos obliga a formular otra, que viene a ser
copar-tícipe de esa preocupación: ¿Qué medios
apropiados utilizamos para coadyuvar a ese proceso?
Posiblemente podríamos citar un sin número de elementos,
a los que aleatoriamente les hemos llamado medios. Desde los más
sim-ples y baratos como pueden ser unos granos de maíz o porotos,
hasta los más sofisticados como son las calculadoras de cualquier
tamaño a las computadoras, o inclusive nuestra creatividad echando
mano a experiencias circundantes. Sea lo que fuere, consideramos,
que aun no estaríamos satisfechos, porque siempre nos preguntaría-mos,
¿y an-tes cómo se efectuaba ese proceso de aprendizaje y
qué medios se utilizaban?
En el intento de respondernos hemos realizado una búsqueda
in-cesante, incansable, prolífica y sustancial, iniciando con lo
que contamos actual-mente como es la tecnología de punta. La informática
y sus aplica-ciones mediante un viaje virtual a las bibliotecas, hasta
llegar en forma retrospectiva, a los orígenes de la propia computadora,
no, a aquella que se nos dicen que construyó el conoci-do inglés,
Sr. Charles Babagge. Sino, mucho más atrás, no sólo
en el tiempo mas también, en el espacio, indagando, a las culturas
ancestrales de las que se pueda tener memoria escrita, como es la cultura
prehispá-nica.
La búsqueda de lo que es la Etnomatemática y su real
vigencia en este fin de Siglo es un desafío que nos impele a reactualizar
saberes ancestrales que aun hoy en día siguen teniendo vigencia
en la praxis del pueblo en su vida cotidiana. Es esa situación la
que nos llevó a recorrer las vías abiertas de la Historia,
la Antropología y la Arqueología.
¿Qué es el Quipu y Qué es la Yupana?
Con la “Yupana” incaica, haremos un estudio más detallado, veremos
su origen, su relación con el quipu y la apli-ca-ción positiva
que podemos darle en la actualidad.
La “yupana incaica” y el “quipu incaico” como los dos instrumentos
de uso infaltables en la práctica contable del incario
Intentaremos ver tres tópicos principales: una primera
parte sobre la naturaleza del quipu; la segunda, el estudio de la Yupana
y tercera, su aplicación mediante ejemplos y ejercicios prácticos.
La yupana o computador incaico que utilizaremos será la
versión propugnada por Radicati Di Primeglio y Hugo Pereyra, por
ajustarse más a situaciones reales del aprendizaje de las operaciones
aritméticas entre el 2º y 4º cursos de educación
primaria, no descartando la posibilidad de ser aplicada a cursos superiores
para operaciones con fracciones decimales y/o algebraicas.
actividades de la comunidad o co-marca. Tampoco intentaremos describir
las distintas clases que exis-ten, pues, no pretendemos hacer un estudio
riguroso de lo que era el “quipu”. Nuestra intención de modo
general es conocer su origen, construc-ción, cromatismo, categorías,
utilidad que prestó, y su res-pectiva relación con la “yu-pana”,
y la aplicación positiva que pode-mos darle a ella en la actualidad,
para retomar el camino de la Etnomate-mática a la que está
direccionado el estudio de la “yupana” funda-mentalmente.
Entre las pri-meras referencias que se tienen de los quipus, son las
que se usa-ron ampliamente para regis-trar datos, informa-ción censal,
acontecimientos históricos, de-pósito de teso-ros, aconteci-mientos
relacio-nados con la as-tro-nomía como leímos en el fragmento
introductorio y quien sabe hasta para asuntos legales.
EL QUIPU INCAICO
“Aproximadamente 500 quipus sobrevivieron a la caída del Impe-rio
Incaico, dispersos en diversos museos del mundo.” De ellos,
unos 400 ha sido estudiados por los esposos Ascher
“Administrativamente, para los fines del tributo y la leva, los hatunrunas
(autoridades maores) fueron clasificados en grupos de diez individuos dirigidos
por un chunca.camayu (encargado de diez personas) que era a la vez, su
jefe inmediato y el responsable por ellos ante los superiores. Cinco de
estos grupos obedecían a un pichca-chunca-camayu (encargado de cincuenta
individuos. Dos de estos dependían de un pachaj-camayu (cien) y
diez huaranca-camayu o sea diez mil individuos, de un hunu-camayu.
Cuatro hunu-camayu por último a un tucrituc...” “Los conquistadores
hallaron ayllus a los que se habían quitado o agregado elementos
para complementar un número decimal. La realidad sin embargo, acabó
por triunfar de la aritmética y la decimalización
persistió solamente para fines administrativos, aunque todo su vigor,
fue impuesta al ejército” “Su organización
era decimal” (J. F. Velarde -122/ 1977)
Aunque nuestro objetivo no es verificar la aserción o error
de los cronistas, tomamos estas notas para hacer ver la enorme importancia
que los quipus han tenido en la cultura precolombina y aun después
del genocidio realizado por los avasalladores hispanos.
“Sin em-bargo el quipu precolombino per-manece indescifrado,
en gran parte, porque casi todos los cordones han perdido sus colores origi-nales
que de un modo u otro le daban su real significado.”
Los pobladores del Tawantinsuyo (Las Cuatro Regiones) emplearon
sistemas de medición y de con-tabilidad que, no eran inferiores
a los usados en Europa Medieval. En el ordenamiento demográfico
crearon una división poblacio-nal basada en un cómputo decimal
que facilitaba un conocimiento aproximado del número de habitantes
por regiones. Al norte chincha-suyo, al este, Anti-Suyo, al Sur, Kolla-Suyo,
y al oeste, Conti-Suyo lo que, en el pensamiento occidentalizado, quien
sabe sería apenas la región norteña, sureña,
etc. Regiones que a su vez tenían provincias llamadas humanus, integradas
por las distintas markas, o sea “ciudades que fueron planificadas con sentido
global, lo que ha dado motivo a algunos arqueólogos para calificar
como “Urbanística” (J.F.Velarde 90)
“Una de las carac-terísticas de las culturas andinas fue
una clasificación poblacional de acuerdo con los ciclos vitales
de las personas y no en el cómpu-to de años transcurridos;
es decir, eran culturas preparadas no sólo para contabilizar la
infinidad de depósitos escalonados a lo largo y ancho del imperio
sino también con estructuras socio-políticas cuyas finalidades
convergían hacia una organización de las fuerzas de producción
y de trabajo para el Estado”
Esos registros eran realizados en “Los quipus, que “eran llevados por
partida doble. Uno quedaba en poder de la autoridad subalterna bajo cuya
responsabilidad era levantado y su copia iba al Cuzco, donde se guardaba
una suerte de registro central para que el Sapa-Inca o las autoridades
superiores, tuvieran a la mano un cuadro completo hasta sus últimos
detalles, del estado del imperio. Los funcionarios locales debían
dar cuenta estadística. Por otra parte cada año se hacía
un nuevo censo total para mantener al día ese cuadro”. El
manejo de los quipus “se hallaba reservada a un tipo especial de funcionarios,
los quipucamayos”
En todo lo que hemos leído hasta ahora, no hemos encontrado
alguna pista que nos sugiera que los quipus eran utilizados para realizar
operaciones aritméticas, por tanto podemos inferir que su utilidad
radicaba fundamentalmente en el registro de datos numéricos y de
acontecimientos importantes (según algún autor) razón
por lo que se les dio el nombre de “fichas mnemotécnicas“.
DESCRIPCIÓN DEL QUIPU
Entre las características observadas en el quipu se tiene las
siguientes:
a) Una cuerda gruesa de aproximadamente unos 10 cm a 3 m. Cada cuerda
de esta clase, tiene sus dos puntas terminadas en nudos con pequeños
flecos a continuación de uno de ellos.
b) En forma transversal van unidas a esta cuerda gruesa, otras más
delgadas cuya longitud en algunas ocasiones llega a unos 50 cm. El número
de estas cuerdas colgantes puede ser desde una a cien o más dependiendo
de la cantidad de datos. Su colocación con respecto al cordón
principal puede estar direccionada, hacia abajo o hacia arriba de modo
opuesto al mismo tiempo.
Las cuerdas colgantes se encuentran repartidas a lo largo de todo el
cordón una a continuación de otra separadas por pequeños
espacios o distancias, a veces formando grupos distanciados o unos más
cercanos de otros.
Esas cuerdas colgantes son de distintos colores; unas de un solo
color y otras de dos.
c) Las cuerdas colgantes tiene otras secundarias que pueden variar
de longitud y valor de acuerdo al color. Su colocación con respecto
de las principales se halla a diversas distancias de la transversal.
d) Los nudos se confeccionan con la misma cuerda, sea esta colgante
o subsidiaria. Están colocados a diversa distancia de la transversal,
algunos de ellos son simples, dobles, compuestos o a medio hacer.
El nudo a medio hacer es el que se encuentra generalmente al final y no
encierra a otros nudos.
Los datos y su representación en los nudos.
Cualesquiera que sea la cuerda colgante, superior, subsidiaria o colgante
extrema en ella se realizan los nudos citados en el inciso d), cada grupo
de nudos representan dígitos, por tanto se puede interpretar que
cada cuerda contiene el registro de un dato que representa uno ó
más dígitos.
Las unidades tienen un tipo de nudo diferente a los otros, pues es
un nudo compuesto y además están en la parte inferior de
la cuerda.
Los nudos de una cuerda pueden representar uno o varios números
en el sistema posicional de base 10, pues, tienen un ordenamiento de en
grupos de diez. O sea, el 322 equivale a 300 + 20 + 2, dicho de otro
modo equivale a la representación por descomposición polinómica.
También, en una misma cuerda pueden estar dos distintos números,
tal el caso del “Quipu sumatoria” en cuya primera cuerda colgante se tienen
los números 31 y 22. Para una cuerda que contiene más
de dos números, la única exigencia está en que ella
debe ser más larga, según los requerimientos de uso o almacenamiento
de datos.
Un aspecto importante que debemos tomar en cuenta es que, el cero es
un número virtual, pues ocupa una posición a la que podemos
llamar “nada” veamos la cuerda que contiene al 30, sólo vemos
tres nudos, pero, por la posición que ocupan y por una convención
que asumimos en la interpretación determinamos que esos nudos equivalen
a 3 decenas.
Otro ejemplo podemos obtener en la cuerda que contiene al 209. Sólo
vemos los dos nudos que están cerca del cordón principal
y nueve en la parte inferior, luego una vez más vemos que, el cero,
o la “nada” está representada con la ausencia de un nudo o
un grupo de nudos en el lugar que correspondería a las decenas.
CROMATISMO DEL QUIPU
“Por lo que toca al cromatismo de los quipus contables, corta es la
lista de colores que nos han proporcionado los cronistas. Ellos señalan,
en primer lugar, el empleo del color natural (marrón en sus tonalidades,
clara y oscura) que es propio del material (lana o algodón) empleado
en la confección del quipu: mencionan luego, los colores obtenidos
del teñido, como blanco, rojo, morado, pardo, amarillento pajizo,
verde, carmesí. Como combinación cromática hablan
de la mezcla de tres colores en la misma cuerda de tres torzales: azul,
amarillo, blanco“.
El quipu Nº 7 de Nordenskiöl, por ejemplo, exhibe 17 expresiones
cromáticas, de las cuales 8 son colores únicos y 9 de combinados.
La mezcla de colores se cumple mediante un sistema combinatorio consistente
en tres modalidades bien definidas, que se aplicación mucha uniformidad
y escrupulosidad. Ellas son la mezcla por jaspeado torzal más torzal
y por posición.
La YUPANA o el Computador Incaico
Hasta ahora hemos visto de un modo muy simple lo que es el quipu. Y,
encontramos que, este es un instrumento utilizado por los habitantes andinos
desde la época del incario.
Sin embargo para no quedar en el campo puramente especulativo y quien
sabe, por ahí surge alguien que diga que con los quipus se podían
realizar perfectamente las operaciones de cómputo tomando como base
la palabra quechua “qui-puni“, que aparece en los antiguos glosarios y
que, además de la idea de anudar, expresa también la de contar
por nudos, sin tener que recurrir forzosamente al empleo del ábaco
¿QUÉ SIGNIFICA YUPANA ? Yupana según los primeros
léxicos, se denominó yupani, que en quechua quiere decir,
"hacer cuen-tas o contar” o, yo hago las cuentas. Por las informaciones
que ya tenemos los encargados de la contabilidad (si vale la expresión),
preferían calcular con piedrecitas u otros materiales pareci-dos,
en especial granos de quínua, maíz o frijoles, y luego anotar
con nudos, los resultados obtenidos en los hilos del quipu. De acuerdo
con la mayoría de los cronistas, el cálculo con piedrecitas
y granos era ejecutado con gran precisión, y según relata
asombrado el padre Acosta, “...las cuentas, "aún las muy embarazosas",
se hacían "puntualísima-mente, sin errar una tilde...". (1954:
190)
Esta manera de calcular generalmente" cuando eran varias las personas
que iban a realizar las cuentas decían “yupana” que significa “contemos
o hagamos nosotros las cuentas”. Luego, de ahí viene el nombre que
se le dio al instrumento con el que se contaba y realizaban las cuentas.
““Son pocos los datos que se obtienen del procedimiento adop-tado para
calcular, el padre Acosta se limita a informar que para ello "los indios
toman sus granos y ponen uno aquí, tres acullá, ocho no se
donde; luego pasan un grano de aquí, truecan tres de allá,
y así salen con su cuenta””
De todas las fuentes consultadas las que mejor nos explican están
la de Guamán Poma en su “Neua Coronica”, que lo representa como
una especie de tablero, que lo hemos visto en el diseño realizado
por el mismo en la página 360; otra información tenemos en
la "Historia del Reino de Quito", del padre Juan Velasco, que al parecer
conocía bastante, sobre de las antigüedades indias, él
nos dice que, “... el instrumento usado para esos menesteres era algo así
como unos depósitos hechos de madera, de piedra o de barro, con
diver-sas separaciones, en las cuales se colocaban piedrecillas de distin-tos
tamaños, colores y figuras angulares" (1841- 44, T.II: 7), y una
tercera en las explicaciones que nos da Radicati Di Primeglio. Mas
veamos por partes.
Según el dibujo antes citado, y, dijimos que parecían
fichas de dominó, el mismo viene a ser la yupana, es decir, un tablero
con veinte casillas distribuidas en cinco filas y cuatro columnas. En cada
casilla aparece ciert-o número de círculos, correspondiéndole
cinco círculos a las casillas de la primera columna, tres a las
de la segunda; dos a las de la tercera y uno a los de la cuarta. Además,
algunos de estos círculos son negros y otros son blancos.
Algunos han considerado que los círculos blancos representan
sitios u hoyos destinados a ser ocupados por elementos auxiliares de cálculo;
tales como granos de quínua (que los hay negros y blancos del taño
del alpiste), maíz, frijoles, piedrezuelas, etcétera. Los
círculos negros representarían lugares ocupados por elementos
(que en general llamaremos fichas). Dando por válida esta suposición,
a lo más podrían colocarse cinco fichas en una casilla de
la primera columna, o dos fichas en la casilla de la tercera columna.
“...Otra opinión sobre el particular es que se ha tratado de
repre-sentar fichas de dos colores diferentes, recurso que resulta de mucha
utilidad para la operación de sustracción si se asigna uno
de los colores al minuendo y otro al sustraendo.
Entre los científicos que han estudiado el ábaco incaico,
lle-gando a formular planteamientos concretos sobre su estructura y uso,
mencionamos a Henry Wassen, que en 1931 publicó The Ancient Peruvian
Abacus, a Carlos Radicati di Primeglio, quien en su libro El sistema Contable
de los incas se ocupa conjunta-mente del tablero de cálculo y de
los quipus (al estudio de este último tema se dedicó de 1950
hasta su muerte en 1990); a Emilio Mendizábal Losack, que dedicó
a la yupana uno de los capítulos de su tesis doctoral escrita en
1971; a William Burns Glynn, que en el trabajo "La tabla de cálculo
de los incas" desarrolla su visión sobre el uso del ábaco;
a Juan Ansión que hace desarrollos impor-tantes sobre el tema en
su artículo "Cómo calculaban los incas"; a Hugo Pereyra Sánchez,
que en su trabajo "La yupana, comple-mento operacional del quipu" plantea
una generalización de los trabajos de Wassen y Radicati; y a Percy
Aitken-Soux y Faustino Ccama, que en su artículo "abaco andino,
instrumento andino an-cestral de cómputo" describen las instrucciones
de una yupana etnográfica del pueblo de Itujata, Potosí,
Bolivia...” (Ref, tomada de Colección de Escritos por los autores
citados 1990:207-209)
Interpretando la YUPANA
El padre Juan Velasco hace mención del tablero para hacer las
cuentas, pero no le da el nombre con el que se le conoce. “... el instrumento
usado para esos menesteres era algo así como unos depósitos
hechos de madera, de piedra o de barro, con diver-sas separaciones, en
las cuales se colocaban piedrecillas de distin-tos tamaños, colores
y figuras angulares" (1841- 44, T.II: 7)
Si bien podemos colegir que entre el quipu, el ábaco y la yupana
existen relaciones concomitantes, centraremos nuestra atención sólo,
a la Yupana propiamente dicha. Por tanto, continuaremos con Radicati, toda
vez que, es el que mejor interpreta la YUPANA, comparado con otros cronistas
y, por lo que hemos estado viendo el material que nos ha ofrecido hasta
ahora. Luego, para no perdernos o, confundirnos una vez más vamos
a observar el diseño junto al quipu-camayo, que nos legó
Guamán Poma por lo que podríamos decir que, para él,
la yupana es el complemento del quipu. Según el dibujo, la yupana
era un tablero con 20 casillas distribuidas en cinco filas de cuatro columnas.
En otras palabras diríamos que es una matriz de 4 x 5.
En cada casilla aparece cierto número de círculos, correspondiéndoles
cinco círculos a las casillas de la primera columna, tres a las
de la segunda, dos a las de la tercera y uno las de la cuarta. Además,
algunos de estos círculos son negros y otros son blancos. Esa observación
hace que algunos consideren que los círculos blancos re-presentan
sitios u hoyos destinados a ser ocupados por elementos auxiliares de Cálculo,
tales como piedrecillas, granos de quínua, maíz, frijoles,
etc. Por tanto, los círculos negros representarían lugares
ocupados por elementos (a los que podríamos llamar de fichas), luego
la suposición sería válida, pues, a lo más
podría, ponerse cinco fichas en una casilla de la primera columna,
o dos en una casilla de la tercera columna.
Una segunda opinión al respecto es que, las fichas de dos colores
diferentes, se convierte en un recurso muy útil, especialmente en
la sustracción, asignando uno de los colores al minuendo y el otro
al sustraendo.
Consideramos que estas dos suposiciones no están alejadas de
la verdad, pues, presuponemos que Guaman conocía la forma en que
se operaba la yupana, o que por lo menos estuvo informado de su uso y por
ello lo dibujó.
Dicho de otro modo, en la ilustración de Guaman Poma el ta-blero
visto en la parte izquierda inferior, sin duda alguna acompaña y
complementa al Quipu que extiende el contador y tesor-ero. Así,
ante testimonio tan preciso, sería. arbitrario desconfiar que, el
tablero representado no sea un instrumento de cál-culo con el que
se efectuaban operaciones cuyos resultados se registraban en quipus, los
que en nuestros días serían nada menos que, los discos duros
de las computadoras en los que se almacenó información numérica.
A las muchas formas de interpretar que realizaron otros investigadores
como Wassen Henry (1931), Hugo Pereyra (1990, Carlos Radicati de Primeglio
(1990). Tal como en el modelo de Wassen, las sucesivas filas, comenzando
desde abajo, corresponden a las unidades, la primera fila; decenas, la
segunda; cente-nas, la tercera; millares, la cuarta y decenas de millar,
la quinta. Multiplicando por el número de fichas o marcas que contiene
cada casilla.
Hugo Pereyra, considera que la cantidad de círculos existen-tes
en una casilla indica el valor que se le dará a cualquier ficha
colocada en dicha casilla. Es decir, una ficha colocada en una casilla
con tres círculos tendrá un valor igual a 3.
Radicati de Primeglio, propone un sistema, donde cada columna, independientemente
de las otras, sirve para escribir un número.
Su concepción permite equi-parar la yupana a un teórico
quipu de cuatro cuerdas, estableciéndose entre ambos instrumentos
una correspon-dencia perfecta. En lugar de los valores 1, 5, 15 y 30 que
se supone, tenía una ficha en el tablero de la ilustra-ción
de Guamán Poma. El tablero pro-puesto por Radicati, tiene los valores
de 5, 3, 2 y 1, para todas la filas, pero, que los mismos se multiplican
por las poten-cias de base diez. Como muestra el grá-fico
Una vez analizadas las filas y columnas del tablero. Veamos cómo
se escribirían algunos números, por ejemplo, 20, 687,
2373 y el 44404.
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